2015年4月18日 星期六

數學教室 - MC幾何題的絕招



最近有個學生問了以下的幾何題。


BC = 16cm, AB = 9 cm. Where points A, B, C are on a straight line and AT is the tangent to the circle with contact point T. Find the length of AT.
a)      8cm
b)      12cm
c)      15cm
d)      16cm

想了一會,也無從入手,於是找來了圓規及尺,作圖解決。量好了9cm16cm,劃好了直綫ABC,該怎麼畫那個圓形呢?其實那個圓形有無限種畫法,只要經過B, C兩點便可。這樣最簡單的做法便是以B, C的中點作圓心,繪畫一個16cm直徑的圓形,再畫切綫AT,並量度它的長度。

結果量得15cm,即選c為答案。同學乙問:「題目並沒有說B, C為圓的直徑,你為什麼可以這樣屈它?」其實我並沒有「老屈」啊,我只是在無限個可能性中選了一個最方便的special case,而從它得出的結果也應該適用於其他的cases,否則這題便該有無限多個答案。

同學考數學記緊帶備尺、圓規及量角器這應急三寶,就算不懂得計算,必要時也可即場作圖解決問題,總好過什麼也不作,白白浪費取分機會!

話說回來,這題到底怎計?驟眼看來,AT是△ACT的其中一邊,可是除了AC的長度以外,便再沒有任何其他資料,即不能考慮這個三角形了。

不能依靠一個三角形,又沒法知道圖中各角的大小,便應考慮有沒辦法找出兩個相似三角形,以它們的邊比計之。


B, T間作一條新直綫,現在有兩個三角形了!

ACT = ATB (s in alt. segment)
CAT = TAB (common )
∴△ABT~ATC (AAA)
AT / AB = AC / AT
AT2 = AC x AB = 25 x 9 = 225
AT = 15cm

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